二项式定理

此定理能将组合数和幂指数关联起来，可用于化简一些式子。

\[ (a+b)^k=\sum_{i=0}^{k}{a^ib^{k-i}C_k^i} \]

例题

例题 \(1\)

化简

\[ \sum_{i=0}^{k}{a^iC_k^i} \]

直接将 \(b=1\) 代入二项式定理即得原式。答案为 \((a+1)^k\)。这是一个重要的结论，需要牢记。

例题 \(2\)

化简

\[ \sum_{i=0}^{k}{a^iC_k^{k-i}} \]

这里我们利用一个结论：\(C_k^{k-i}=C_k^i\)。直接将其代入原式，答案同例题 \(1\)。

例题 \(3\)

化简

\[ \sum_{i=0}^{k}{iC_k^i} \]

根据 \(C_k^i=C_k^{k-i}\)，我们考虑将第 \(i\) 项和第 \(k-i\) 项配对相加，即

\[ \begin{align*} &\frac{1}{2}\big(\sum_{i=0}^{k}{iC_k^i}+\sum_{i=0}^{k}{iC_k^i}\big)\\ =&\frac{1}{2}\big(\sum_{i=0}^{k}{iC_k^i}+\sum_{i=0}^{k}{(k-i)C_k^{k-i}}\big)\\ =&\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{k}{(k-i+i)C_k^i}\\ =&\frac{k}{2}\sum_{i=0}^{k}{C_k^i}\\ =&k2^{k-1} \end{align*} \]

这种化简的思路是值得借鉴的。要巧妙利用组合数的性质合并不同项，消除变量。